Conjunto Vacio

· {}

Además de la notación {} se puede usar la alternativa Æ.

· {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral

(recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo).

Intersección de sucesos

Dados A y B dos sucesos, A Ç B es el suceso que ocurre cuando ocurren

[image]

simultáneamente A y B. Se puede llamar "A intersección B" o bien "A y B".

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga menos de 4

B: que salga más de 2

Con lo cual queda:

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5, 6}

A Ç B = {3}

Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes

Son los sucesos cuya intersección es nula. Dados los sucesos A y B, son disjuntos <=> A Ç B = Æ.

[image]

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga 1 ó 2

B: que salga más de 4

Con lo cual queda:

A = {1, 2}

B = {5, 6}

A Ç B = Æ

Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente.

Dados A y B dos sucesos, A È B es el suceso que ocurre cuando ocurre A, B, o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A unión B" o bien "A ó B".

[image]

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga menos de 4

B: que salga 2 ó 6

Con lo cual queda:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 6}

A È B = {1, 2, 3, 6}

el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

[image]

Complemento de los sucesos

Dado un suceso A, su "complemento" o "negado" es el suceso que ocurre si y sólo si no ocurre A (y A ocurre si y sólo si no ocurre el complemento de A). El complemento de A se escribe AC o bien A y se llama "complemento de A", "A negado" o bien "no A".

[image]

Ejemplo:

Si arrojo un dado, y el suceso A es que salga un 4, entonces el suceso AC es que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6.

Expresados como conjuntos quedan:

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}

A = {sale 4}

AC = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 5, sale 6}

Observamos que:

· Así como A es un subconjunto de E, AC también es un subconjunto de E.

· A È AC = E, es decir, la unión de A y AC forma E. Esto es lógico: O llueve o no llueve.

No hay ninguna otra posibilidad.

· A Ç AC = Æ. Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.

Partición del espacio muestral

Sea el espacio muestral E, y n sucesos A1, ..., An. 

Si se cumple que:

· A1 È A2 È ... È An = E "la unión de los sucesos da el espacio muestral"

· Ai Ç Aj = Æ " i¹j "todos los pares posibles de sucesos tienen intersección nula"

Entonces se dice que A1, ..., An forman una partición de E.

Como ejemplo, volvamos al experimento del dado, y definamos los siguientes sucesos:

A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = {3}, A4 = {4}, A5 = {5}, A6 = {6}.

Veamos que se verifica:

· A1 È A2 È A3 È A4 È A5 È A6 = {1}È{2}È{3}È{4}È{5}È{6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E.

· A1 Ç A2 = Æ, A1 Ç A3 = Æ, ..., A5 Ç A6 = Æ.

Entonces los A1, ..., A6 que definimos forman una partición de E. Gráficamente, lo podemos ver así:

[image] 

Hagamos la observación de que un suceso y su complemento siempre forman una

partición del espacio muestral, puesto que como vimos antes:

· A È AC = E

· A Ç AC = Æ

El concepto de partición del espacio muestral nos será útil más adelante al estudiar la

probabilidad total.

¿Qué es la probabilidad?

· La probabilidad expresa el grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso al

hacer un determinado experimento aleatorio.

· Cuanto más alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el grado de certeza de que

ocurrirá al hacer el experimento aleatorio.

· Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como P(A).

Probabilidad

(Definición Informal)

Si la probabilidad es 0, se sabe que el suceso no ocurrirá.

Si la probabilidad es 1, se sabe que el suceso ocurrirá.

Es decir, el 0 y el 1 son los casos límite.

Probabilidad

(Definición de Laplace)

P(A) = cantidad de resultados contenidos en A

cantidad total de resultados

¿Qué significa que los resultados de E sean equiprobables?

Que tienen todos la misma probabilidad.

¿Y cómo se sabe si los resultados que componen una determina expresión de E son

equiprobables?

Probabilidad

(Definición empírica)

Esta definición consiste en asociar las probabilidades de los resultados con sus

frecuencias relativas luego de repetir el experimento una determinada cantidad de veces.

De ahí el nombre "empírica".

Es decir,

P A≈ frrel  A=

frabs  A

n

donde frabs(A) es la cantidad de veces que ocurrió A en las n veces que se llevó a cabo el

experimento.

Probabilidad

(Definición axiomática)

· Axioma 1: P(A) ³ 0

"Laprobabilidad no puede ser negativa"

· Axioma 2: P(E) = 1

"Laprobabilidad del espacio muestral es uno"

· Axioma 3: A Ç B = Æ <=> P(A È B) = P(A) + P(B)

"Dos sucesos son disjuntos si y sólo si la probabilidad de su unión es la suma de sus

probabilidades".

· Consecuencia 1: P(A) £ 1

"Laprobabilidad tampoco puede sermayor que uno"

· Consecuencia 2: P(A) + P( A ) = 1

"Lasprobabilidades de dos sucesos complementarios suman uno"

· Consecuencia 3: P(Æ) = 0

"Laprobabilidad de un suceso imposible es cero"

· Consecuencia 4: A Ì B => P(A) £ P(B)

"Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es a lo sumo la de éste"

· Consecuencia 5: P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidadesmenos la

probabilidad de la intersección.

· Para 4 sucesos:

"La probabilidad de la unión de cuatro sucesos es:

1) Las probabilidades individuales (sumando)

2) menos las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 2

3) más las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 3

4) menos la probabilidad de la intersección tomada de a 4"

Y así sucesivamente, alternando el signo se puede obtener la forma de calcular la

probabilidad de la unión de cualquier número de sucesos.

Resumen de Simbología de Teoría de Conjuntos

Tabla Periodica - A las columnas verticales

Grupos o Familias

Es un sistema donde se clasifican los elementos conocidos hasta la fecha.

Se pueden ver sus propiedades físicas, su reactividad o trasnformaciones en el plano atómico o melecular.

Son los renglones numerados de arriba hacia abajo

del 1 al 7

Sus electrones de valencia, los de la última capa ocupada, estan en la misma capa o nivel de energía

Caracteristicas de acomodo

de los elementos de la tabla periódica

En los periodos aumentan en un proton por cada posición.

En la misma familia, tienen el mismo número de electrones en su última capa

• Elementos representativos - Familia 1 y 2
• Metales de transición interna - Familia 3 al 12
• Metales de transición - Familia 13 al 18

• Tienen un lustre brillante; diversos colores, pero casi todos son plateados.
• Los sólidos son maleables y dúctiles
• Buenos conductores del calor y la electricidad
• Casi todos los óxidos metálicos son sólidos iónicos básicos.
• Tienden a formar cationes en solución acuosa.
• Las capas externas contienen pocos electrones habitualmente tres o menos.
• Es preciso advertir que estos caracteres aunque muy generales tienen algunas excepciones como por ejemplo , el manganeso que siendo metal forma ácidos

• No tienen lustre; diversos colores.
• Los sólidos suelen ser quebradizos; algunos duros y otros blandos.
• Malos conductores del calor y la electricidad
• La mayor parte de los óxidos no metálicos son sustancias moleculares que forman soluciones ácidas
• Tienden a formar aniones u oxianiones en solución acuosa.
• Las capas externas contienen cuatro o más electrones*. Excepto hidrógeno y helio

Caracteristicas de: C, Li, F, Si, S, Fe, Hg

Carbono, C: ¿El de las mil caras?

Carbón amorfo (sin un acomodo molecular determinado, que forma polvos o conglomerados) Grafito (la forma mas estable) Diamante (una de las joyas mas preciadas)

Litio, Li: ¿Que tiene que ver con el estado de animo?

Metal alcalino descubierto en 1817 por el sueco Johan August Arfvedson. 
No esta en la Naturaleza como metal, sino formando óxidos y sales. Solo se puede recuperar su forma metálica por medio de electricidad. Tiene pocas aplicaciones: - Aleaciones con el aluminio ( 1% de este metal) Tratamientos Psiquiátricos : Algunos tipos de depresión se deben a la carencia de litio en el cuerpo.

Flúor, F: ¡A combatir las caries! 

Es el mas ligero de los halógenos 

Como elemento forma un gas con moléculas diatómicas, F2 En la Naturaleza solo se encuentran los compuestos que forma. Junto con el carbono forma el polímero llamado teflón.
Tambien con carbono forma los freones, como CCI2F-CF3 y CCIF2-CCIF2' Cuando el anion fluoruro, F- llamado hidropatita se transforma en fluorapatita y previene las caries.

Silicio, Si: La base de la computación

Forma parte de la familia del carbono 

No tiene apariencia metálica, pero puede conducir corriente eléctrica. Sus propiedades eléctricas varían con la temperatura o añadiéndole pequeñas impurezas de boro B, o arsénico As Se usa para fabricar chips de computadoras y las celdas solares. Es el segundo en abundancia después del oxigeno.

 Azufre, S: ¡No huele a "infiernos"!

Como elemento es un polvo amarillo, insípido e inodoro cuya formula es S8.

Se encuentra como mineral en la Naturaleza y se extrae de los yacimientos de forma abundante. Se usa para fabricar pólvora, tratamientos contra hongos, combate al acné y pomadas, fabricación de fertilizantes y vulcanización.

Hierro, Fe de la varilla a los imanes

Aunque solo ocupa el 5% de masa en la corteza terrestre, es el elemento mas abundante en la Tierra.

En el suelo se encuentra oxidado formando diferentes compuestos minerales. El hierro y sus aleaciones se usan en estructuras, varillas, portones, etc. Un compuesto colorido del hierro es la hemoglobina, indispensable para nuestra salud. 

Mercurio, Hg: El atractivo veneno

Es el único metal liquido a temperatura ambiente. Es muy útil en la fabricación de termómetros y también en barómetros para medir la presión. Todos los metales, excepto el hierro y el platino se disuelven en mercurio y forman mezclas llamadas amalgamas.