¿Como se representaría gráficamente la rotación de un eje unitario X_B con respecto a un eje de coordenadas {A}?

¿Cual sería la operación matemática para rotar un eje unitario XB con respecto a eje de coordenadas {A}?

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Definimos los componentes de rotación r_ij para R a base de una operación de "dot product".

¿Cual sería la operación matemática para rotar el eje de coordenadas {B} completo?

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Note que la rotación incluye a los ejes unitarios de Y y Z para el eje de coordenadas {B}.

En términos de la transpuesta de los vectores unitarios de X, Y, y Z, ¿Como calculamos la rotación del sistema de coordenadas {B}?

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Para expresar la rotación del {B} con respecto de {A} en términos de la rotación de {A} con respecto de {B} debemos ajustar la matriz R como:

Se puede ajustar como  la inversa o como la transpuesta como se muestra abajo.

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¿Cual es el propósito de la parte circulada de rojo en la descripción del sistema de coordenadas {B}.

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El propósito es describir la separación del origen de {A} con el origen de {B}.  Se establece un vector P que relaciona la distancia entre estos.

¿Cómo establecemos el vector ^BP en términos de ^AP?

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Establecemos los componentes de BP en términos de {A} de la siguiente manera.

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¿Que nos dice la siguiente gráfica de la relación del vector ^AP con los vectores ^BP y ^AP_B(ORIG)?

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^AP = ^BP + ^AP_B(ORIG)

Realice el ajuste necesario a la ecuación ^AP = ^BP + ^AP_B(ORG) para establecer la rotación del vector BP hacia la orientación de {A} como se muestra en la figura.

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¿Cual sería la forma conceptual de la ecuación que se muestra abajo?

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Nota: La T es el símbolo para especificar la matriz de transformación.

¿Como expresamos la forma matricial para calcular ^AP?

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¿Cual es la función del vector ^AQ en la siguiente gráfica?

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^AQ es un vector de translación para describir la traslación del vector ^AP₁, todo definido del sistema de coordenadas {A}.

¿Cual sería la forma general para obtener el valor de AP2?

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^AP₂ = ^AP₁ + ^AQ

¿Cual sería la forma de obtener el valor de ^AP₂ utilizando operaciones de matrices a lo largo de un vector ^AQ?

^AP₂ = D_Q(q)^AP₁

Aquí q se refiere a la magnitud del vector Q teniendo en cuenta el signo que indica la dirección del vector.

En términos de la transformada homogénea ¿cual sería la expresión del operador D_Q?

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Note que expresamos el vector Q en sus componentes por eje.

¿Que significa la R en la siguiente relación?

^AP₂ = R^AP₁

Es un operador rotacional donde se interpreta una matriz de rotación de que opera en el vector ^AP₁.

¿Que indica R_K(Θ) en la expresión de abajo?

^AP₂ = R_K(Θ)^AP₁

Este operador indica que la rotación ocurre alrededor del eje k.

La transformada del operador R en términos de Z es:

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¿Como establecemos el valor de ^AP en términos de transformadas de cada sistema de coordenadas para la figura que se muestra?

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¿Como describimos el valor de ^CP en términos de una sola transformada?

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¿Como describimos la transformada compuesta de A hasta C en término de matrices?

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Si queremos describir el sistema de coordenadas {A} con respecto a {B} en vez de {B} con respecto de {A} ¿Cual sería la relación que describe la transformada?

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¿Que guías para rotar {B} se pueden apreciar en el siguiente diagrama?

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• Se mantiene fijo {A}
• Se rota {B} alrededor de {A}
• Comenzamos rotando alrededor de X_A
• Seguimos rotando alrededor de Y_A
• Terminamos rotando alrededor de Z_A

Identifique los ángulos en la siguiente matriz de rotación.

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Establezca cual es la diferencia entre el cálculo tan-1(y/x) y atan2 (y,x).

El cálculo de atan2(y,x) reconoce el cuadrante donde ocurre la posición(x,y).  El cálculo tan-1 no reconoce el cuadrante cuando (x,y) es negativo en alguno de sus valores.

 ¿Cual sería el valor de atan2 (2,2)?

¿Cual sería el valor de atan2 (-2,2)?

¿Cual sería el valor de atan2 (2,-2)?

¿Cual sería el valor de atan2 (-2,-2)?

atan2 (2,2) = tan^-1(2/2) = 90 - 45 = 45 

atan2 (-2,2) = -[tan^-1(2/2)] = - 45

atan2 (2,-2) = 180 - tan^-1(2/2) =180 - 45 = 135

atan2 (-2,-2) = -[180 - tan^-1(2/2)] = - [180 - 45] = -135

La diferencia entre los ángulos Euler con los ángulos anteriormente estudiados es:

Estos ocurren en un sistema que no está fijo sino que está en movimiento.

¿Como son las rotaciones con ángulos Euler Z-Y-X?

Rotación secuencial de:

• {B} alrededor de Z_B por un ángulo α (alpha)
• {B} alrededor de Y_B por un ángulo β (beta)
• {B} alrededor de X_B por un ángulo γ (gamma)

¿Como son las rotaciones con ángulos Euler Z-Y-Z?

• {B} alrededor de Z_B por un ángulo α (alpha)
• {B} alrededor de Y_B por un ángulo β (beta)
• {B} alrededor de Z_B por un ángulo γ (gamma)

¿A que se refiere la representación equivalente de un eje de ángulos?

Es una descripción de la orientación de {B} con respecto de {A} dada una rotación alrededor de un vector k por un ángulo θ.

¿Como sería la representación gráfica de la rotación con representación de eje equivalente?